Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41203 / 9619
↖ ↑ ↗
← N 77.595309°
E 46.334839°		 ← 131.21 m → N 77.595309°
E 46.340332°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 77.594128°
E 46.334839°		 ← 131.22 m →
17 221 m²		 N 77.594128°
E 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628715515136719 y=0.146781921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628715515136719 × 216)
    floor (0.628715515136719 × 65536)
    floor (41203.5)     		tx = 41203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146781921386719 × 216)
    floor (0.146781921386719 × 65536)
    floor (9619.5)     		ty = 9619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41203 / 9619 ti = "16/41203/9619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41203/9619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41203 ÷ 216
    41203 ÷ 65536     		x = 0.628707885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9619 ÷ 216
    9619 ÷ 65536     		y = 0.146774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628707885742188 × 2 - 1) × π
    0.257415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80869550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146774291992188 × 2 - 1) × π
    0.706451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21938257860936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80869550} λ = 0.80869550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21938257860936))-π/2
    2×atan(9.20164781745332)-π/2
    2×1.46254497374165-π/2
    2.9250899474833-1.57079632675     		φ = 1.35429362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80869550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.334839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35429362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.595309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41203 KachelY 9619 0.80869550 1.35429362 46.334839 77.595309
    Oben rechts KachelX + 1 41204 KachelY 9619 0.80879137 1.35429362 46.340332 77.595309
    Unten links KachelX 41203 KachelY + 1 9620 0.80869550 1.35427302 46.334839 77.594128
    Unten rechts KachelX + 1 41204 KachelY + 1 9620 0.80879137 1.35427302 46.340332 77.594128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35429362-1.35427302) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35429362-1.35427302) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80869550-0.80879137) × cos(1.35429362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214815295931456 × 6371000     		do = 131.206555563861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80869550-0.80879137) × cos(1.35427302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214835414972544 × 6371000     		du = 131.218844028102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35429362)-sin(1.35427302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214815295931456-0.214835414972544)×R²
    abs(0.80879137-0.80869550)×2.01190410872576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01190410872576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01190410872576e-05×40589641000000     		ar = 17220.6958744815m²