Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41203 / 7979
↖ ↑ ↗
← N 79.388964°
E 46.334839°		 ← 112.47 m → N 79.388964°
E 46.340332°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.387952°
E 46.334839°		 ← 112.48 m →
12 655 m²		 N 79.387952°
E 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628715515136719 y=0.121757507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628715515136719 × 216)
    floor (0.628715515136719 × 65536)
    floor (41203.5)     		tx = 41203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121757507324219 × 216)
    floor (0.121757507324219 × 65536)
    floor (7979.5)     		ty = 7979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41203 / 7979 ti = "16/41203/7979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41203/7979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41203 ÷ 216
    41203 ÷ 65536     		x = 0.628707885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7979 ÷ 216
    7979 ÷ 65536     		y = 0.121749877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628707885742188 × 2 - 1) × π
    0.257415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80869550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121749877929688 × 2 - 1) × π
    0.756500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37661560936314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80869550} λ = 0.80869550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37661560936314))-π/2
    2×atan(10.7683966623154)-π/2
    2×1.47819756587832-π/2
    2.95639513175665-1.57079632675     		φ = 1.38559881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80869550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.334839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38559881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.388964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41203 KachelY 7979 0.80869550 1.38559881 46.334839 79.388964
    Oben rechts KachelX + 1 41204 KachelY 7979 0.80879137 1.38559881 46.340332 79.388964
    Unten links KachelX 41203 KachelY + 1 7980 0.80869550 1.38558115 46.334839 79.387952
    Unten rechts KachelX + 1 41204 KachelY + 1 7980 0.80879137 1.38558115 46.340332 79.387952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38559881-1.38558115) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38559881-1.38558115) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80869550-0.80879137) × cos(1.38559881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184140676356449 × 6371000     		do = 112.470873078044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80869550-0.80879137) × cos(1.38558115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184158034339948 × 6371000     		du = 112.481475122078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38559881)-sin(1.38558115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184140676356449-0.184158034339948)×R²
    abs(0.80879137-0.80869550)×1.7357983499805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7357983499805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7357983499805e-05×40589641000000     		ar = 12654.9035540128m²