Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41202 / 9617
↖ ↑ ↗
← N 77.597669°
E 46.329346°		 ← 131.20 m → N 77.597669°
E 46.334839°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 77.596488°
E 46.329346°		 ← 131.21 m →
17 219 m²		 N 77.596488°
E 46.334839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628700256347656 y=0.146751403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628700256347656 × 216)
    floor (0.628700256347656 × 65536)
    floor (41202.5)     		tx = 41202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146751403808594 × 216)
    floor (0.146751403808594 × 65536)
    floor (9617.5)     		ty = 9617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41202 / 9617 ti = "16/41202/9617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41202/9617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41202 ÷ 216
    41202 ÷ 65536     		x = 0.628692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9617 ÷ 216
    9617 ÷ 65536     		y = 0.146743774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628692626953125 × 2 - 1) × π
    0.25738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80859962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146743774414062 × 2 - 1) × π
    0.706512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21957432620784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80859962} λ = 0.80859962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21957432620784))-π/2
    2×atan(9.20341238049433)-π/2
    2×1.46256556697182-π/2
    2.92513113394363-1.57079632675     		φ = 1.35433481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80859962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.329346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35433481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.597669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41202 KachelY 9617 0.80859962 1.35433481 46.329346 77.597669
    Oben rechts KachelX + 1 41203 KachelY 9617 0.80869550 1.35433481 46.334839 77.597669
    Unten links KachelX 41202 KachelY + 1 9618 0.80859962 1.35431421 46.329346 77.596488
    Unten rechts KachelX + 1 41203 KachelY + 1 9618 0.80869550 1.35431421 46.334839 77.596488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35433481-1.35431421) × R
    2.05999999998152e-05 × 6371000     		dl = 131.242599998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35433481-1.35431421) × R
    2.05999999998152e-05 × 6371000     		dr = 131.242599998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80859962-0.80869550) × cos(1.35433481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.214775067342449 × 6371000     		do = 131.1956677533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80859962-0.80869550) × cos(1.35431421) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.214795186565801 × 6371000     		du = 131.207957610662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35433481)-sin(1.35431421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214775067342449-0.214795186565801)×R²
    abs(0.80869550-0.80859962)×2.0119223352294e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.0119223352294e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.0119223352294e-05×40589641000000     		ar = 17219.2670215839m²