Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41201 / 9616
↖ ↑ ↗
← N 77.598848°
E 46.323853°		 ← 131.17 m → N 77.598848°
E 46.329346°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
N 77.597669°
E 46.323853°		 ← 131.18 m →
17 208 m²		 N 77.597669°
E 46.329346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628684997558594 y=0.146736145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628684997558594 × 216)
    floor (0.628684997558594 × 65536)
    floor (41201.5)     		tx = 41201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146736145019531 × 216)
    floor (0.146736145019531 × 65536)
    floor (9616.5)     		ty = 9616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41201 / 9616 ti = "16/41201/9616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41201/9616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41201 ÷ 216
    41201 ÷ 65536     		x = 0.628677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9616 ÷ 216
    9616 ÷ 65536     		y = 0.146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628677368164062 × 2 - 1) × π
    0.257354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80850375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146728515625 × 2 - 1) × π
    0.70654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21967020000708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80850375} λ = 0.80850375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21967020000708))-π/2
    2×atan(9.20429478890447)-π/2
    2×1.46257586214078-π/2
    2.92515172428157-1.57079632675     		φ = 1.35435540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80850375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.323853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35435540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.598848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41201 KachelY 9616 0.80850375 1.35435540 46.323853 77.598848
    Oben rechts KachelX + 1 41202 KachelY 9616 0.80859962 1.35435540 46.329346 77.598848
    Unten links KachelX 41201 KachelY + 1 9617 0.80850375 1.35433481 46.323853 77.597669
    Unten rechts KachelX + 1 41202 KachelY + 1 9617 0.80859962 1.35433481 46.329346 77.597669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35435540-1.35433481) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35435540-1.35433481) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80850375-0.80859962) × cos(1.35435540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214754957794634 × 6371000     		do = 131.169701767826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80850375-0.80859962) × cos(1.35433481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214775067342449 × 6371000     		du = 131.181984433691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35435540)-sin(1.35433481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214754957794634-0.214775067342449)×R²
    abs(0.80859962-0.80850375)×2.01095478148949e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01095478148949e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01095478148949e-05×40589641000000     		ar = 17207.5014935857m²