Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 412 / 92
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W 35.156250°		 ← 5 907.48 m → N 81.308321°
W 34.804687°		 →
↑
5 925.41 m
↓
↑
5 925.41 m
↓
N 81.255032°
W 35.156250°		 ← 5 943.42 m →
35 110 715 m²		 N 81.255032°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 92 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40283203125 y=0.09033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40283203125 × 210)
    floor (0.40283203125 × 1024)
    floor (412.5)     		tx = 412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09033203125 × 210)
    floor (0.09033203125 × 1024)
    floor (92.5)     		ty = 92
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 412 / 92 ti = "10/412/92"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/412/92.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 412 ÷ 210
    412 ÷ 1024     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 92 ÷ 210
    92 ÷ 1024     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 412 KachelY 92 -0.61359232 1.41909791 -35.156250 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 413 KachelY 92 -0.60745639 1.41909791 -34.804687 81.308321
    Unten links KachelX 412 KachelY + 1 93 -0.61359232 1.41816785 -35.156250 81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 413 KachelY + 1 93 -0.60745639 1.41816785 -34.804687 81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41816785) × R
    0.000930060000000177 × 6371000     		dl = 5925.41226000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41816785) × R
    0.000930060000000177 × 6371000     		dr = 5925.41226000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(1.41909791) × R
    0.00613593000000001 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 5907.47750364266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(1.41816785) × R
    0.00613593000000001 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 5943.41531831509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.152036575089231)×R²
    abs(-0.60745639--0.61359232)×0.000919313553968043×R²
    0.00613593000000001×0.000919313553968043×6371000²
    0.00613593000000001×0.000919313553968043×40589641000000     		ar = 35110715.340529m²