Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 412 / 88
↖ ↑ ↗
← N 81.518272°
W 35.156250°		 ← 5 765.84 m → N 81.518272°
W 34.804687°		 →
↑
5 783.34 m
↓
↑
5 783.34 m
↓
N 81.466261°
W 35.156250°		 ← 5 800.93 m →
33 447 278 m²		 N 81.466261°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40283203125 y=0.08642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40283203125 × 210)
    floor (0.40283203125 × 1024)
    floor (412.5)     		tx = 412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08642578125 × 210)
    floor (0.08642578125 × 1024)
    floor (88.5)     		ty = 88
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 412 / 88 ti = "10/412/88"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/412/88.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 412 ÷ 210
    412 ÷ 1024     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88 ÷ 210
    88 ÷ 1024     		y = 0.0859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859375 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60163141617969))-π/2
    2×atan(13.485720921814)-π/2
    2×1.49677928578267-π/2
    2.99355857156534-1.57079632675     		φ = 1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 412 KachelY 88 -0.61359232 1.42276224 -35.156250 81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 413 KachelY 88 -0.60745639 1.42276224 -34.804687 81.518272
    Unten links KachelX 412 KachelY + 1 89 -0.61359232 1.42185448 -35.156250 81.466261
    Unten rechts KachelX + 1 413 KachelY + 1 89 -0.60745639 1.42185448 -34.804687 81.466261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42276224-1.42185448) × R
    0.000907760000000035 × 6371000     		dl = 5783.33896000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42276224-1.42185448) × R
    0.000907760000000035 × 6371000     		dr = 5783.33896000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(1.42276224) × R
    0.00613593000000001 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 5765.83719442194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(1.42185448) × R
    0.00613593000000001 × 0.148391777721568 × 6371000     		du = 5800.93286306108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42276224)-sin(1.42185448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.148391777721568)×R²
    abs(-0.60745639--0.61359232)×0.000897770890066818×R²
    0.00613593000000001×0.000897770890066818×6371000²
    0.00613593000000001×0.000897770890066818×40589641000000     		ar = 33447278.2541785m²