Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 412 / 804
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
W 35.156250°		 ← 12.679 km → S 71.074057°
W 34.804687°		 →
↑
12.643 km
↓
↑
12.643 km
↓
S 71.187754°
W 35.156250°		 ← 12.606 km →
159.835 km²		 S 71.187754°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40283203125 y=0.78564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40283203125 × 210)
    floor (0.40283203125 × 1024)
    floor (412.5)     		tx = 412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78564453125 × 210)
    floor (0.78564453125 × 1024)
    floor (804.5)     		ty = 804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 412 / 804 ti = "10/412/804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/412/804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 412 ÷ 210
    412 ÷ 1024     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 804 ÷ 210
    804 ÷ 1024     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 412 KachelY 804 -0.61359232 -1.24047630 -35.156250 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 413 KachelY 804 -0.60745639 -1.24047630 -34.804687 -71.074057
    Unten links KachelX 412 KachelY + 1 805 -0.61359232 -1.24246069 -35.156250 -71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 413 KachelY + 1 805 -0.60745639 -1.24246069 -34.804687 -71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24246069) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dl = 12642.548689999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24246069) × R
    0.00198438999999984 × 6371000     		dr = 12642.548689999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(-1.24047630) × R
    0.00613593000000001 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 12679.3281211953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.60745639) × cos(-1.24246069) × R
    0.00613593000000001 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 12605.9231596937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.322468022238295)×R²
    abs(-0.60745639--0.61359232)×0.00187774845665956×R²
    0.00613593000000001×0.00187774845665956×6371000²
    0.00613593000000001×0.00187774845665956×40589641000000     		ar = 159835062.678692m²