Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 412 / 214
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
E109.687500°		 ← 68.836 km → N 28.304381°
E110.390625°		 →
↑
69.036 km
↓
↑
69.036 km
↓
N 27.683528°
E109.687500°		 ← 69.234 km →
4 765.94 km²		 N 27.683528°
E110.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8056640625 y=0.4189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8056640625 × 29)
    floor (0.8056640625 × 512)
    floor (412.5)     		tx = 412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4189453125 × 29)
    floor (0.4189453125 × 512)
    floor (214.5)     		ty = 214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 412 / 214 ti = "9/412/214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/412/214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 412 ÷ 29
    412 ÷ 512     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 214 ÷ 29
    214 ÷ 512     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 412 KachelY 214 1.91440802 0.49400464 109.687500 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 413 KachelY 214 1.92667987 0.49400464 110.390625 28.304381
    Unten links KachelX 412 KachelY + 1 215 1.91440802 0.48316871 109.687500 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 413 KachelY + 1 215 1.92667987 0.48316871 110.390625 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.48316871) × R
    0.01083593 × 6371000     		dl = 69035.71003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.48316871) × R
    0.01083593 × 6371000     		dr = 69035.71003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.92667987) × cos(0.49400464) × R
    0.0122718500000001 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 68836.3686368356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.92667987) × cos(0.48316871) × R
    0.0122718500000001 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 69234.0221332741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.885527227905161)×R²
    abs(1.92667987-1.91440802)×0.00508612655335972×R²
    0.0122718500000001×0.00508612655335972×6371000²
    0.0122718500000001×0.00508612655335972×40589641000000     		ar = 4765940364.2438m²