Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41199 / 9615
↖ ↑ ↗
← N 77.600028°
E 46.312866°		 ← 131.17 m → N 77.600028°
E 46.318360°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
N 77.598848°
E 46.312866°		 ← 131.18 m →
17 208 m²		 N 77.598848°
E 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628654479980469 y=0.146720886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628654479980469 × 216)
    floor (0.628654479980469 × 65536)
    floor (41199.5)     		tx = 41199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146720886230469 × 216)
    floor (0.146720886230469 × 65536)
    floor (9615.5)     		ty = 9615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41199 / 9615 ti = "16/41199/9615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41199/9615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41199 ÷ 216
    41199 ÷ 65536     		x = 0.628646850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9615 ÷ 216
    9615 ÷ 65536     		y = 0.146713256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628646850585938 × 2 - 1) × π
    0.257293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80831200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146713256835938 × 2 - 1) × π
    0.706573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21976607380632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80831200} λ = 0.80831200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21976607380632))-π/2
    2×atan(9.20517728191851)-π/2
    2×1.46258615634579-π/2
    2.92517231269158-1.57079632675     		φ = 1.35437599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80831200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.312866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35437599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.600028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41199 KachelY 9615 0.80831200 1.35437599 46.312866 77.600028
    Oben rechts KachelX + 1 41200 KachelY 9615 0.80840788 1.35437599 46.318360 77.600028
    Unten links KachelX 41199 KachelY + 1 9616 0.80831200 1.35435540 46.312866 77.598848
    Unten rechts KachelX + 1 41200 KachelY + 1 9616 0.80840788 1.35435540 46.318360 77.598848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35437599-1.35435540) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35437599-1.35435540) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80831200-0.80840788) × cos(1.35437599) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.214734848155774 × 6371000     		do = 131.171099803444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80831200-0.80840788) × cos(1.35435540) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.214754957794634 × 6371000     		du = 131.183383806104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35437599)-sin(1.35435540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214734848155774-0.214754957794634)×R²
    abs(0.80840788-0.80831200)×2.01096388598443e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.01096388598443e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.01096388598443e-05×40589641000000     		ar = 17207.6849738703m²