Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41197 / 9933
↖ ↑ ↗
← N 77.219286°
E 46.301880°		 ← 135.13 m → N 77.219286°
E 46.307373°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
N 77.218070°
E 46.301880°		 ← 135.15 m →
18 261 m²		 N 77.218070°
E 46.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628623962402344 y=0.151573181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628623962402344 × 216)
    floor (0.628623962402344 × 65536)
    floor (41197.5)     		tx = 41197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151573181152344 × 216)
    floor (0.151573181152344 × 65536)
    floor (9933.5)     		ty = 9933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41197 / 9933 ti = "16/41197/9933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41197/9933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41197 ÷ 216
    41197 ÷ 65536     		x = 0.628616333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9933 ÷ 216
    9933 ÷ 65536     		y = 0.151565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628616333007812 × 2 - 1) × π
    0.257232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80812025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151565551757812 × 2 - 1) × π
    0.696868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18927820564796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80812025} λ = 0.80812025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18927820564796))-π/2
    2×atan(8.92876605534375)-π/2
    2×1.45926355382186-π/2
    2.91852710764372-1.57079632675     		φ = 1.34773078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80812025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.301880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34773078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.219286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41197 KachelY 9933 0.80812025 1.34773078 46.301880 77.219286
    Oben rechts KachelX + 1 41198 KachelY 9933 0.80821613 1.34773078 46.307373 77.219286
    Unten links KachelX 41197 KachelY + 1 9934 0.80812025 1.34770957 46.301880 77.218070
    Unten rechts KachelX + 1 41198 KachelY + 1 9934 0.80821613 1.34770957 46.307373 77.218070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34773078-1.34770957) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dl = 135.128910000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34773078-1.34770957) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dr = 135.128910000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80812025-0.80821613) × cos(1.34773078) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221220252279033 × 6371000     		do = 135.132718510689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80812025-0.80821613) × cos(1.34770957) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221240936727591 × 6371000     		du = 135.145353636703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34773078)-sin(1.34770957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221220252279033-0.221240936727591)×R²
    abs(0.80821613-0.80812025)×2.06844485582947e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.06844485582947e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.06844485582947e-05×40589641000000     		ar = 18261.1906438213m²