Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41194 / 10000
↖ ↑ ↗
← N 77.137612°
E 46.285400°		 ← 135.98 m → N 77.137612°
E 46.290894°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 77.136389°
E 46.285400°		 ← 135.99 m →
18 489 m²		 N 77.136389°
E 46.290894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628578186035156 y=0.152595520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628578186035156 × 216)
    floor (0.628578186035156 × 65536)
    floor (41194.5)     		tx = 41194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152595520019531 × 216)
    floor (0.152595520019531 × 65536)
    floor (10000.5)     		ty = 10000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41194 / 10000 ti = "16/41194/10000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41194/10000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41194 ÷ 216
    41194 ÷ 65536     		x = 0.628570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10000 ÷ 216
    10000 ÷ 65536     		y = 0.152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628570556640625 × 2 - 1) × π
    0.25714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80783263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152587890625 × 2 - 1) × π
    0.69482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18285466109888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80783263} λ = 0.80783263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18285466109888))-π/2
    2×atan(8.87159554406223)-π/2
    2×1.45855081488398-π/2
    2.91710162976797-1.57079632675     		φ = 1.34630530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80783263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.285400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34630530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41194 KachelY 10000 0.80783263 1.34630530 46.285400 77.137612
    Oben rechts KachelX + 1 41195 KachelY 10000 0.80792851 1.34630530 46.290894 77.137612
    Unten links KachelX 41194 KachelY + 1 10001 0.80783263 1.34628396 46.285400 77.136389
    Unten rechts KachelX + 1 41195 KachelY + 1 10001 0.80792851 1.34628396 46.290894 77.136389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34630530-1.34628396) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34630530-1.34628396) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80783263-0.80792851) × cos(1.34630530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22261018917391 × 6371000     		do = 135.981763519874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80783263-0.80792851) × cos(1.34628396) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222630993650038 × 6371000     		du = 135.994471964907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34630530)-sin(1.34628396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22261018917391-0.222630993650038)×R²
    abs(0.80792851-0.80783263)×2.08044761279835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08044761279835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08044761279835e-05×40589641000000     		ar = 18488.5555628031m²