Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41189 / 7962
↖ ↑ ↗
← N 79.406146°
E 46.257934°		 ← 112.30 m → N 79.406146°
E 46.263428°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
N 79.405136°
E 46.257934°		 ← 112.31 m →
12 614 m²		 N 79.405136°
E 46.263428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628501892089844 y=0.121498107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628501892089844 × 216)
    floor (0.628501892089844 × 65536)
    floor (41189.5)     		tx = 41189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121498107910156 × 216)
    floor (0.121498107910156 × 65536)
    floor (7962.5)     		ty = 7962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41189 / 7962 ti = "16/41189/7962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41189/7962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41189 ÷ 216
    41189 ÷ 65536     		x = 0.628494262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7962 ÷ 216
    7962 ÷ 65536     		y = 0.121490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628494262695312 × 2 - 1) × π
    0.256988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80735326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121490478515625 × 2 - 1) × π
    0.75701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37824546395023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80735326} λ = 0.80735326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37824546395023))-π/2
    2×atan(10.7859618935089)-π/2
    2×1.47834750700942-π/2
    2.95669501401883-1.57079632675     		φ = 1.38589869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80735326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.257934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38589869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.406146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41189 KachelY 7962 0.80735326 1.38589869 46.257934 79.406146
    Oben rechts KachelX + 1 41190 KachelY 7962 0.80744914 1.38589869 46.263428 79.406146
    Unten links KachelX 41189 KachelY + 1 7963 0.80735326 1.38588106 46.257934 79.405136
    Unten rechts KachelX + 1 41190 KachelY + 1 7963 0.80744914 1.38588106 46.263428 79.405136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38589869-1.38588106) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38589869-1.38588106) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80735326-0.80744914) × cos(1.38589869) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183845916059473 × 6371000     		do = 112.302549916941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80735326-0.80744914) × cos(1.38588106) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183863245528871 × 6371000     		du = 112.31313564897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38589869)-sin(1.38588106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183845916059473-0.183863245528871)×R²
    abs(0.80744914-0.80735326)×1.73294693973647e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.73294693973647e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.73294693973647e-05×40589641000000     		ar = 12614.4988865264m²