Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41173 / 9663
↖ ↑ ↗
← N 77.543281°
E 46.170044°		 ← 131.76 m → N 77.543281°
E 46.175537°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 77.542096°
E 46.170044°		 ← 131.77 m →
17 361 m²		 N 77.542096°
E 46.175537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628257751464844 y=0.147453308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628257751464844 × 216)
    floor (0.628257751464844 × 65536)
    floor (41173.5)     		tx = 41173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147453308105469 × 216)
    floor (0.147453308105469 × 65536)
    floor (9663.5)     		ty = 9663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41173 / 9663 ti = "16/41173/9663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41173/9663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41173 ÷ 216
    41173 ÷ 65536     		x = 0.628250122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9663 ÷ 216
    9663 ÷ 65536     		y = 0.147445678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628250122070312 × 2 - 1) × π
    0.256500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80581928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147445678710938 × 2 - 1) × π
    0.705108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2151641314428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80581928} λ = 0.80581928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2151641314428))-π/2
    2×atan(9.16291291031128)-π/2
    2×1.46209094566911-π/2
    2.92418189133822-1.57079632675     		φ = 1.35338556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80581928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.170044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35338556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.543281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41173 KachelY 9663 0.80581928 1.35338556 46.170044 77.543281
    Oben rechts KachelX + 1 41174 KachelY 9663 0.80591516 1.35338556 46.175537 77.543281
    Unten links KachelX 41173 KachelY + 1 9664 0.80581928 1.35336488 46.170044 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 41174 KachelY + 1 9664 0.80591516 1.35336488 46.175537 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35338556-1.35336488) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35338556-1.35336488) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80581928-0.80591516) × cos(1.35338556) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215702068304328 × 6371000     		do = 131.761927662673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80581928-0.80591516) × cos(1.35336488) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 131.774262666413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35338556)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215702068304328-0.215722261434972)×R²
    abs(0.80591516-0.80581928)×2.0193130643914e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0193130643914e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0193130643914e-05×40589641000000     		ar = 17360.7469698366m²