Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41171 / 9666
↖ ↑ ↗
← N 77.539726°
E 46.159058°		 ← 131.79 m → N 77.539726°
E 46.164551°		 →
↑
131.82 m
↓
↑
131.82 m
↓
N 77.538541°
E 46.159058°		 ← 131.80 m →
17 372 m²		 N 77.538541°
E 46.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628227233886719 y=0.147499084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628227233886719 × 216)
    floor (0.628227233886719 × 65536)
    floor (41171.5)     		tx = 41171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147499084472656 × 216)
    floor (0.147499084472656 × 65536)
    floor (9666.5)     		ty = 9666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41171 / 9666 ti = "16/41171/9666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41171/9666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41171 ÷ 216
    41171 ÷ 65536     		x = 0.628219604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9666 ÷ 216
    9666 ÷ 65536     		y = 0.147491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628219604492188 × 2 - 1) × π
    0.256439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80562754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147491455078125 × 2 - 1) × π
    0.70501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21487651004507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80562754} λ = 0.80562754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21487651004507))-π/2
    2×atan(9.16027783946237)-π/2
    2×1.46205992104814-π/2
    2.92411984209628-1.57079632675     		φ = 1.35332352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80562754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.159058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35332352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.539726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41171 KachelY 9666 0.80562754 1.35332352 46.159058 77.539726
    Oben rechts KachelX + 1 41172 KachelY 9666 0.80572341 1.35332352 46.164551 77.539726
    Unten links KachelX 41171 KachelY + 1 9667 0.80562754 1.35330283 46.159058 77.538541
    Unten rechts KachelX + 1 41172 KachelY + 1 9667 0.80572341 1.35330283 46.164551 77.538541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35332352-1.35330283) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dl = 131.815989999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35332352-1.35330283) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dr = 131.815989999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80562754-0.80572341) × cos(1.35332352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215762647419482 × 6371000     		do = 131.785186266639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80562754-0.80572341) × cos(1.35330283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215782850037745 × 6371000     		du = 131.797525778796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35332352)-sin(1.35330283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215762647419482-0.215782850037745)×R²
    abs(0.80572341-0.80562754)×2.02026182628268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02026182628268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02026182628268e-05×40589641000000     		ar = 17372.2080682252m²