Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41169 / 9633
↖ ↑ ↗
← N 77.578778°
E 46.148071°		 ← 131.38 m → N 77.578778°
E 46.153564°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
N 77.577596°
E 46.148071°		 ← 131.39 m →
17 260 m²		 N 77.577596°
E 46.153564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628196716308594 y=0.146995544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628196716308594 × 216)
    floor (0.628196716308594 × 65536)
    floor (41169.5)     		tx = 41169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146995544433594 × 216)
    floor (0.146995544433594 × 65536)
    floor (9633.5)     		ty = 9633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41169 / 9633 ti = "16/41169/9633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41169/9633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41169 ÷ 216
    41169 ÷ 65536     		x = 0.628189086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9633 ÷ 216
    9633 ÷ 65536     		y = 0.146987915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628189086914062 × 2 - 1) × π
    0.256378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80543579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146987915039062 × 2 - 1) × π
    0.706024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21804034542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80543579} λ = 0.80543579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21804034542))-π/2
    2×atan(9.18930534544671)-π/2
    2×1.46240071309935-π/2
    2.9248014261987-1.57079632675     		φ = 1.35400510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80543579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.148071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35400510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.578778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41169 KachelY 9633 0.80543579 1.35400510 46.148071 77.578778
    Oben rechts KachelX + 1 41170 KachelY 9633 0.80553166 1.35400510 46.153564 77.578778
    Unten links KachelX 41169 KachelY + 1 9634 0.80543579 1.35398448 46.148071 77.577596
    Unten rechts KachelX + 1 41170 KachelY + 1 9634 0.80553166 1.35398448 46.153564 77.577596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35400510-1.35398448) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dl = 131.370019999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35400510-1.35398448) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dr = 131.370019999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80543579-0.80553166) × cos(1.35400510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215097071398444 × 6371000     		do = 131.378660572984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80543579-0.80553166) × cos(1.35398448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215117208693642 × 6371000     		du = 131.390960186611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35400510)-sin(1.35398448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215097071398444-0.215117208693642)×R²
    abs(0.80553166-0.80543579)×2.0137295197481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0137295197481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0137295197481e-05×40589641000000     		ar = 17260.0251679031m²