Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41169 / 9613
↖ ↑ ↗
← N 77.602387°
E 46.148071°		 ← 131.13 m → N 77.602387°
E 46.153564°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
N 77.601207°
E 46.148071°		 ← 131.15 m →
17 203 m²		 N 77.601207°
E 46.153564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628196716308594 y=0.146690368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628196716308594 × 216)
    floor (0.628196716308594 × 65536)
    floor (41169.5)     		tx = 41169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146690368652344 × 216)
    floor (0.146690368652344 × 65536)
    floor (9613.5)     		ty = 9613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41169 / 9613 ti = "16/41169/9613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41169/9613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41169 ÷ 216
    41169 ÷ 65536     		x = 0.628189086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9613 ÷ 216
    9613 ÷ 65536     		y = 0.146682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628189086914062 × 2 - 1) × π
    0.256378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80543579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146682739257812 × 2 - 1) × π
    0.706634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2199578214048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80543579} λ = 0.80543579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2199578214048))-π/2
    2×atan(9.20694252179075)-π/2
    2×1.46260674186426-π/2
    2.92521348372852-1.57079632675     		φ = 1.35441716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80543579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.148071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35441716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.602387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41169 KachelY 9613 0.80543579 1.35441716 46.148071 77.602387
    Oben rechts KachelX + 1 41170 KachelY 9613 0.80553166 1.35441716 46.153564 77.602387
    Unten links KachelX 41169 KachelY + 1 9614 0.80543579 1.35439657 46.148071 77.601207
    Unten rechts KachelX + 1 41170 KachelY + 1 9614 0.80553166 1.35439657 46.153564 77.601207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35441716-1.35439657) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dl = 131.17888999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35441716-1.35439657) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dr = 131.17888999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80543579-0.80553166) × cos(1.35441716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214694638371766 × 6371000     		do = 131.132859402045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80543579-0.80553166) × cos(1.35439657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214714748192646 × 6371000     		du = 131.145142234695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35441716)-sin(1.35439657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214694638371766-0.214714748192646)×R²
    abs(0.80553166-0.80543579)×2.01098208797712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01098208797712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01098208797712e-05×40589641000000     		ar = 17202.668563548m²