Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41166 / 9874
↖ ↑ ↗
← N 77.290785°
E 46.131592°		 ← 134.38 m → N 77.290785°
E 46.137085°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
N 77.289577°
E 46.131592°		 ← 134.39 m →
18 056 m²		 N 77.289577°
E 46.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628150939941406 y=0.150672912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628150939941406 × 216)
    floor (0.628150939941406 × 65536)
    floor (41166.5)     		tx = 41166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150672912597656 × 216)
    floor (0.150672912597656 × 65536)
    floor (9874.5)     		ty = 9874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41166 / 9874 ti = "16/41166/9874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41166/9874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41166 ÷ 216
    41166 ÷ 65536     		x = 0.628143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9874 ÷ 216
    9874 ÷ 65536     		y = 0.150665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628143310546875 × 2 - 1) × π
    0.25628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80514817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150665283203125 × 2 - 1) × π
    0.69866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19493475980313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80514817} λ = 0.80514817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19493475980313))-π/2
    2×atan(8.97941521889284)-π/2
    2×1.45988750326383-π/2
    2.91977500652766-1.57079632675     		φ = 1.34897868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80514817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34897868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.290785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41166 KachelY 9874 0.80514817 1.34897868 46.131592 77.290785
    Oben rechts KachelX + 1 41167 KachelY 9874 0.80524404 1.34897868 46.137085 77.290785
    Unten links KachelX 41166 KachelY + 1 9875 0.80514817 1.34895759 46.131592 77.289577
    Unten rechts KachelX + 1 41167 KachelY + 1 9875 0.80524404 1.34895759 46.137085 77.289577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34897868-1.34895759) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dl = 134.36439000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34897868-1.34895759) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dr = 134.36439000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80514817-0.80524404) × cos(1.34897868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220003098477282 × 6371000     		do = 134.375201912026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80514817-0.80524404) × cos(1.34895759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220023671705913 × 6371000     		du = 134.387767788464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34897868)-sin(1.34895759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220003098477282-0.220023671705913)×R²
    abs(0.80524404-0.80514817)×2.05732286313043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05732286313043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05732286313043e-05×40589641000000     		ar = 18056.086240203m²