Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41164 / 9630
↖ ↑ ↗
← N 77.582322°
E 46.120606°		 ← 131.34 m → N 77.582322°
E 46.126099°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
N 77.581141°
E 46.120606°		 ← 131.35 m →
17 255 m²		 N 77.581141°
E 46.126099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628120422363281 y=0.146949768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628120422363281 × 216)
    floor (0.628120422363281 × 65536)
    floor (41164.5)     		tx = 41164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146949768066406 × 216)
    floor (0.146949768066406 × 65536)
    floor (9630.5)     		ty = 9630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41164 / 9630 ti = "16/41164/9630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41164/9630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41164 ÷ 216
    41164 ÷ 65536     		x = 0.62811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9630 ÷ 216
    9630 ÷ 65536     		y = 0.146942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62811279296875 × 2 - 1) × π
    0.2562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80495642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146942138671875 × 2 - 1) × π
    0.70611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21832796681772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80495642} λ = 0.80495642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21832796681772))-π/2
    2×atan(9.19194876642824)-π/2
    2×1.46243164201558-π/2
    2.92486328403115-1.57079632675     		φ = 1.35406696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80495642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35406696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.582322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41164 KachelY 9630 0.80495642 1.35406696 46.120606 77.582322
    Oben rechts KachelX + 1 41165 KachelY 9630 0.80505229 1.35406696 46.126099 77.582322
    Unten links KachelX 41164 KachelY + 1 9631 0.80495642 1.35404634 46.120606 77.581141
    Unten rechts KachelX + 1 41165 KachelY + 1 9631 0.80505229 1.35404634 46.126099 77.581141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35406696-1.35404634) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dl = 131.370019999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35406696-1.35404634) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dr = 131.370019999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80495642-0.80505229) × cos(1.35406696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215036658964151 × 6371000     		do = 131.341761396961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80495642-0.80505229) × cos(1.35404634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21505679653369 × 6371000     		du = 131.354061178153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35406696)-sin(1.35404634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215036658964151-0.21505679653369)×R²
    abs(0.80505229-0.80495642)×2.01375695395578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01375695395578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01375695395578e-05×40589641000000     		ar = 17255.1777335139m²