Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41163 / 9608
↖ ↑ ↗
← N 77.608282°
E 46.115112°		 ← 131.09 m → N 77.608282°
E 46.120606°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 77.607104°
E 46.115112°		 ← 131.10 m →
17 180 m²		 N 77.607104°
E 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628105163574219 y=0.146614074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628105163574219 × 216)
    floor (0.628105163574219 × 65536)
    floor (41163.5)     		tx = 41163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146614074707031 × 216)
    floor (0.146614074707031 × 65536)
    floor (9608.5)     		ty = 9608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41163 / 9608 ti = "16/41163/9608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41163/9608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41163 ÷ 216
    41163 ÷ 65536     		x = 0.628097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9608 ÷ 216
    9608 ÷ 65536     		y = 0.1466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628097534179688 × 2 - 1) × π
    0.256195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80486054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1466064453125 × 2 - 1) × π
    0.706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.220437190401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80486054} λ = 0.80486054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.220437190401))-π/2
    2×atan(9.21135710260755)-π/2
    2×1.4626581887971-π/2
    2.9253163775942-1.57079632675     		φ = 1.35452005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80486054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.115112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35452005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41163 KachelY 9608 0.80486054 1.35452005 46.115112 77.608282
    Oben rechts KachelX + 1 41164 KachelY 9608 0.80495642 1.35452005 46.120606 77.608282
    Unten links KachelX 41163 KachelY + 1 9609 0.80486054 1.35449948 46.115112 77.607104
    Unten rechts KachelX + 1 41164 KachelY + 1 9609 0.80495642 1.35449948 46.120606 77.607104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35452005-1.35449948) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35452005-1.35449948) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80486054-0.80495642) × cos(1.35452005) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.214594146504445 × 6371000     		do = 131.085151991643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80486054-0.80495642) × cos(1.35449948) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.214614237246094 × 6371000     		du = 131.097424450913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35452005)-sin(1.35449948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214594146504445-0.214614237246094)×R²
    abs(0.80495642-0.80486054)×2.00907416485763e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.00907416485763e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.00907416485763e-05×40589641000000     		ar = 17179.7060263593m²