Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41162 / 9674
↖ ↑ ↗
← N 77.530241°
E 46.109619°		 ← 131.88 m → N 77.530241°
E 46.115112°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 77.529054°
E 46.109619°		 ← 131.90 m →
17 402 m²		 N 77.529054°
E 46.115112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628089904785156 y=0.147621154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628089904785156 × 216)
    floor (0.628089904785156 × 65536)
    floor (41162.5)     		tx = 41162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147621154785156 × 216)
    floor (0.147621154785156 × 65536)
    floor (9674.5)     		ty = 9674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41162 / 9674 ti = "16/41162/9674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41162/9674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41162 ÷ 216
    41162 ÷ 65536     		x = 0.628082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9674 ÷ 216
    9674 ÷ 65536     		y = 0.147613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628082275390625 × 2 - 1) × π
    0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147613525390625 × 2 - 1) × π
    0.70477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21410951965115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80476467} λ = 0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21410951965115))-π/2
    2×atan(9.15325468804299)-π/2
    2×1.46197714611557-π/2
    2.92395429223114-1.57079632675     		φ = 1.35315797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35315797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.530241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41162 KachelY 9674 0.80476467 1.35315797 46.109619 77.530241
    Oben rechts KachelX + 1 41163 KachelY 9674 0.80486054 1.35315797 46.115112 77.530241
    Unten links KachelX 41162 KachelY + 1 9675 0.80476467 1.35313726 46.109619 77.529054
    Unten rechts KachelX + 1 41163 KachelY + 1 9675 0.80486054 1.35313726 46.115112 77.529054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35315797-1.35313726) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35315797-1.35313726) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80476467-0.80486054) × cos(1.35315797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215924295071003 × 6371000     		do = 131.883918675237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80476467-0.80486054) × cos(1.35313726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215944516478031 × 6371000     		du = 131.896269663342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35315797)-sin(1.35313726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215924295071003-0.215944516478031)×R²
    abs(0.80486054-0.80476467)×2.02214070276485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02214070276485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02214070276485e-05×40589641000000     		ar = 17402.0287705105m²