Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41161 / 9623
↖ ↑ ↗
← N 77.590587°
E 46.104126°		 ← 131.26 m → N 77.590587°
E 46.109619°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 77.589407°
E 46.104126°		 ← 131.27 m →
17 227 m²		 N 77.589407°
E 46.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628074645996094 y=0.146842956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628074645996094 × 216)
    floor (0.628074645996094 × 65536)
    floor (41161.5)     		tx = 41161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146842956542969 × 216)
    floor (0.146842956542969 × 65536)
    floor (9623.5)     		ty = 9623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41161 / 9623 ti = "16/41161/9623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41161/9623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41161 ÷ 216
    41161 ÷ 65536     		x = 0.628067016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9623 ÷ 216
    9623 ÷ 65536     		y = 0.146835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628067016601562 × 2 - 1) × π
    0.256134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80466880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146835327148438 × 2 - 1) × π
    0.706329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2189990834124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80466880} λ = 0.80466880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2189990834124))-π/2
    2×atan(9.19811970626129)-π/2
    2×1.46250377570999-π/2
    2.92500755141998-1.57079632675     		φ = 1.35421122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80466880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.104126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35421122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.590587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41161 KachelY 9623 0.80466880 1.35421122 46.104126 77.590587
    Oben rechts KachelX + 1 41162 KachelY 9623 0.80476467 1.35421122 46.109619 77.590587
    Unten links KachelX 41161 KachelY + 1 9624 0.80466880 1.35419062 46.104126 77.589407
    Unten rechts KachelX + 1 41162 KachelY + 1 9624 0.80476467 1.35419062 46.109619 77.589407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35421122-1.35419062) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35421122-1.35419062) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80466880-0.80476467) × cos(1.35421122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214895771548766 × 6371000     		do = 131.255709086697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80466880-0.80476467) × cos(1.35419062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214915890225131 × 6371000     		du = 131.26799732817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35421122)-sin(1.35419062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214895771548766-0.214915890225131)×R²
    abs(0.80476467-0.80466880)×2.01186763658101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01186763658101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01186763658101e-05×40589641000000     		ar = 17227.1468966385m²