Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41155 / 9669
↖ ↑ ↗
← N 77.536170°
E 46.071167°		 ← 131.84 m → N 77.536170°
E 46.076660°		 →
↑
131.82 m
↓
↑
131.82 m
↓
N 77.534984°
E 46.071167°		 ← 131.85 m →
17 379 m²		 N 77.534984°
E 46.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627983093261719 y=0.147544860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627983093261719 × 216)
    floor (0.627983093261719 × 65536)
    floor (41155.5)     		tx = 41155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147544860839844 × 216)
    floor (0.147544860839844 × 65536)
    floor (9669.5)     		ty = 9669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41155 / 9669 ti = "16/41155/9669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41155/9669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41155 ÷ 216
    41155 ÷ 65536     		x = 0.627975463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9669 ÷ 216
    9669 ÷ 65536     		y = 0.147537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627975463867188 × 2 - 1) × π
    0.255950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80409355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147537231445312 × 2 - 1) × π
    0.704925537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21458888864735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80409355} λ = 0.80409355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21458888864735))-π/2
    2×atan(9.15764352640724)-π/2
    2×1.46202888771279-π/2
    2.92405777542558-1.57079632675     		φ = 1.35326145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80409355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.071167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35326145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.536170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41155 KachelY 9669 0.80409355 1.35326145 46.071167 77.536170
    Oben rechts KachelX + 1 41156 KachelY 9669 0.80418943 1.35326145 46.076660 77.536170
    Unten links KachelX 41155 KachelY + 1 9670 0.80409355 1.35324076 46.071167 77.534984
    Unten rechts KachelX + 1 41156 KachelY + 1 9670 0.80418943 1.35324076 46.076660 77.534984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35326145-1.35324076) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dl = 131.815989999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35326145-1.35324076) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dr = 131.815989999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80409355-0.80418943) × cos(1.35326145) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215823254997148 × 6371000     		do = 131.835954733339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80409355-0.80418943) × cos(1.35324076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21584345733827 × 6371000     		du = 131.848295363313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35326145)-sin(1.35324076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215823254997148-0.21584345733827)×R²
    abs(0.80418943-0.80409355)×2.02023411224606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02023411224606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02023411224606e-05×40589641000000     		ar = 17378.900237654m²