Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41149 / 9670
↖ ↑ ↗
← N 77.534984°
E 46.038208°		 ← 131.85 m → N 77.534984°
E 46.043701°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
N 77.533798°
E 46.038208°		 ← 131.86 m →
17 389 m²		 N 77.533798°
E 46.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627891540527344 y=0.147560119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627891540527344 × 216)
    floor (0.627891540527344 × 65536)
    floor (41149.5)     		tx = 41149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147560119628906 × 216)
    floor (0.147560119628906 × 65536)
    floor (9670.5)     		ty = 9670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41149 / 9670 ti = "16/41149/9670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41149/9670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41149 ÷ 216
    41149 ÷ 65536     		x = 0.627883911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9670 ÷ 216
    9670 ÷ 65536     		y = 0.147552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627883911132812 × 2 - 1) × π
    0.255767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80351831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147552490234375 × 2 - 1) × π
    0.70489501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21449301484811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80351831} λ = 0.80351831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21449301484811))-π/2
    2×atan(9.15676559041647)-π/2
    2×1.46201854133074-π/2
    2.92403708266147-1.57079632675     		φ = 1.35324076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80351831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.038208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35324076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.534984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41149 KachelY 9670 0.80351831 1.35324076 46.038208 77.534984
    Oben rechts KachelX + 1 41150 KachelY 9670 0.80361419 1.35324076 46.043701 77.534984
    Unten links KachelX 41149 KachelY + 1 9671 0.80351831 1.35322006 46.038208 77.533798
    Unten rechts KachelX + 1 41150 KachelY + 1 9671 0.80361419 1.35322006 46.043701 77.533798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35324076-1.35322006) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35324076-1.35322006) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80351831-0.80361419) × cos(1.35324076) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21584345733827 × 6371000     		do = 131.848295363466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80351831-0.80361419) × cos(1.35322006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.215863669351231 × 6371000     		du = 131.860641901496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35324076)-sin(1.35322006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21584345733827-0.215863669351231)×R²
    abs(0.80361419-0.80351831)×2.02120129603189e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.02120129603189e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.02120129603189e-05×40589641000000     		ar = 17388.9277676607m²