Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41147 / 9678
↖ ↑ ↗
← N 77.525495°
E 46.027221°		 ← 131.95 m → N 77.525495°
E 46.032715°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 77.524308°
E 46.027221°		 ← 131.96 m →
17 410 m²		 N 77.524308°
E 46.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627861022949219 y=0.147682189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627861022949219 × 216)
    floor (0.627861022949219 × 65536)
    floor (41147.5)     		tx = 41147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147682189941406 × 216)
    floor (0.147682189941406 × 65536)
    floor (9678.5)     		ty = 9678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41147 / 9678 ti = "16/41147/9678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41147/9678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41147 ÷ 216
    41147 ÷ 65536     		x = 0.627853393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9678 ÷ 216
    9678 ÷ 65536     		y = 0.147674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627853393554688 × 2 - 1) × π
    0.255706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80332656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147674560546875 × 2 - 1) × π
    0.70465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21372602445419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80332656} λ = 0.80332656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21372602445419))-π/2
    2×atan(9.14974513182556)-π/2
    2×1.46193573539712-π/2
    2.92387147079424-1.57079632675     		φ = 1.35307514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80332656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.027221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35307514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.525495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41147 KachelY 9678 0.80332656 1.35307514 46.027221 77.525495
    Oben rechts KachelX + 1 41148 KachelY 9678 0.80342244 1.35307514 46.032715 77.525495
    Unten links KachelX 41147 KachelY + 1 9679 0.80332656 1.35305443 46.027221 77.524308
    Unten rechts KachelX + 1 41148 KachelY + 1 9679 0.80342244 1.35305443 46.032715 77.524308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35307514-1.35305443) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35307514-1.35305443) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80332656-0.80342244) × cos(1.35307514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21600517037944 × 6371000     		do = 131.947078013846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80332656-0.80342244) × cos(1.35305443) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216025391415982 × 6371000     		du = 131.959430063945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35307514)-sin(1.35305443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21600517037944-0.216025391415982)×R²
    abs(0.80342244-0.80332656)×2.02210365424227e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02210365424227e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02210365424227e-05×40589641000000     		ar = 17410.3622989022m²