Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41144 / 9640
↖ ↑ ↗
← N 77.570504°
E 46.010742°		 ← 131.48 m → N 77.570504°
E 46.016236°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 77.569322°
E 46.010742°		 ← 131.49 m →
17 290 m²		 N 77.569322°
E 46.016236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627815246582031 y=0.147102355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627815246582031 × 216)
    floor (0.627815246582031 × 65536)
    floor (41144.5)     		tx = 41144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147102355957031 × 216)
    floor (0.147102355957031 × 65536)
    floor (9640.5)     		ty = 9640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41144 / 9640 ti = "16/41144/9640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41144/9640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41144 ÷ 216
    41144 ÷ 65536     		x = 0.6278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9640 ÷ 216
    9640 ÷ 65536     		y = 0.1470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1470947265625 × 2 - 1) × π
    0.705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21736922882532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80303894} λ = 0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21736922882532))-π/2
    2×atan(9.18314031909293)-π/2
    2×1.46232851183432-π/2
    2.92465702366865-1.57079632675     		φ = 1.35386070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35386070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.570504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41144 KachelY 9640 0.80303894 1.35386070 46.010742 77.570504
    Oben rechts KachelX + 1 41145 KachelY 9640 0.80313482 1.35386070 46.016236 77.570504
    Unten links KachelX 41144 KachelY + 1 9641 0.80303894 1.35384006 46.010742 77.569322
    Unten rechts KachelX + 1 41145 KachelY + 1 9641 0.80313482 1.35384006 46.016236 77.569322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35386070-1.35384006) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35386070-1.35384006) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80303894-0.80313482) × cos(1.35386070) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21523808913747 × 6371000     		do = 131.478505302062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80303894-0.80313482) × cos(1.35384006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.215258245323114 × 6371000     		du = 131.490817737893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35386070)-sin(1.35384006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21523808913747-0.215258245323114)×R²
    abs(0.80313482-0.80303894)×2.01561856433552e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.01561856433552e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.01561856433552e-05×40589641000000     		ar = 17289.8963898538m²