Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4114 / 4718
↖ ↑ ↗
← S 26.352498°
E  0.791016°		 ← 4 378.69 m → S 26.352498°
E  0.834961°		 →
↑
4 377.96 m
↓
↑
4 377.96 m
↓
S 26.391870°
E  0.791016°		 ← 4 377.20 m →
19 166 463 m²		 S 26.391870°
E  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50225830078125 y=0.57598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50225830078125 × 213)
    floor (0.50225830078125 × 8192)
    floor (4114.5)     		tx = 4114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57598876953125 × 213)
    floor (0.57598876953125 × 8192)
    floor (4718.5)     		ty = 4718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4114 / 4718 ti = "13/4114/4718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4114/4718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4114 ÷ 213
    4114 ÷ 8192     		x = 0.502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4718 ÷ 213
    4718 ÷ 8192     		y = 0.575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502197265625 × 2 - 1) × π
    0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01380583} λ = 0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477068025018799))-π/2
    2×atan(0.620600311509664)-π/2
    2×0.555429236528787-π/2
    1.11085847305757-1.57079632675     		φ = -0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4114 KachelY 4718 0.01380583 -0.45993785 0.791016 -26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 4115 KachelY 4718 0.01457282 -0.45993785 0.834961 -26.352498
    Unten links KachelX 4114 KachelY + 1 4719 0.01380583 -0.46062502 0.791016 -26.391870
    Unten rechts KachelX + 1 4115 KachelY + 1 4719 0.01457282 -0.46062502 0.834961 -26.391870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45993785--0.46062502) × R
    0.000687170000000015 × 6371000     		dl = 4377.96007000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45993785--0.46062502) × R
    0.000687170000000015 × 6371000     		dr = 4377.96007000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01380583-0.01457282) × cos(-0.45993785) × R
    0.00076699 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 4378.68933325784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01380583-0.01457282) × cos(-0.46062502) × R
    0.00076699 × 0.895774846076327 × 6371000     		du = 4377.19777470276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45993785)-sin(-0.46062502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.895774846076327)×R²
    abs(0.01457282-0.01380583)×0.000305241093472075×R²
    0.00076699×0.000305241093472075×6371000²
    0.00076699×0.000305241093472075×40589641000000     		ar = 19166462.8222439m²