Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41132 / 9882
↖ ↑ ↗
← N 77.281113°
E 45.944824°		 ← 134.48 m → N 77.281113°
E 45.950317°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 77.279904°
E 45.944824°		 ← 134.49 m →
18 087 m²		 N 77.279904°
E 45.950317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627632141113281 y=0.150794982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627632141113281 × 216)
    floor (0.627632141113281 × 65536)
    floor (41132.5)     		tx = 41132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150794982910156 × 216)
    floor (0.150794982910156 × 65536)
    floor (9882.5)     		ty = 9882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41132 / 9882 ti = "16/41132/9882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41132/9882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41132 ÷ 216
    41132 ÷ 65536     		x = 0.62762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9882 ÷ 216
    9882 ÷ 65536     		y = 0.150787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62762451171875 × 2 - 1) × π
    0.2552490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80188846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150787353515625 × 2 - 1) × π
    0.69842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19416776940921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80188846} λ = 0.80188846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19416776940921))-π/2
    2×atan(8.97253073418124)-π/2
    2×1.45980310156187-π/2
    2.91960620312375-1.57079632675     		φ = 1.34880988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80188846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.944824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34880988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.281113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41132 KachelY 9882 0.80188846 1.34880988 45.944824 77.281113
    Oben rechts KachelX + 1 41133 KachelY 9882 0.80198433 1.34880988 45.950317 77.281113
    Unten links KachelX 41132 KachelY + 1 9883 0.80188846 1.34878877 45.944824 77.279904
    Unten rechts KachelX + 1 41133 KachelY + 1 9883 0.80198433 1.34878877 45.950317 77.279904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34880988-1.34878877) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dl = 134.491809998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34880988-1.34878877) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dr = 134.491809998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80188846-0.80198433) × cos(1.34880988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220167759602592 × 6371000     		do = 134.47577491356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80188846-0.80198433) × cos(1.34878877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220188351556831 × 6371000     		du = 134.48835222737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34880988)-sin(1.34878877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220167759602592-0.220188351556831)×R²
    abs(0.80198433-0.80188846)×2.0591954239535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0591954239535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0591954239535e-05×40589641000000     		ar = 18086.7361426972m²