Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41131 / 9867
↖ ↑ ↗
← N 77.299242°
E 45.939331°		 ← 134.30 m → N 77.299242°
E 45.944824°		 →
↑
134.30 m
↓
↑
134.30 m
↓
N 77.298034°
E 45.939331°		 ← 134.31 m →
18 038 m²		 N 77.298034°
E 45.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627616882324219 y=0.150566101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627616882324219 × 216)
    floor (0.627616882324219 × 65536)
    floor (41131.5)     		tx = 41131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150566101074219 × 216)
    floor (0.150566101074219 × 65536)
    floor (9867.5)     		ty = 9867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41131 / 9867 ti = "16/41131/9867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41131/9867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41131 ÷ 216
    41131 ÷ 65536     		x = 0.627609252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9867 ÷ 216
    9867 ÷ 65536     		y = 0.150558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627609252929688 × 2 - 1) × π
    0.255218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80179258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150558471679688 × 2 - 1) × π
    0.698883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19560587639781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80179258} λ = 0.80179258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19560587639781))-π/2
    2×atan(8.98544347606222)-π/2
    2×1.45996130296879-π/2
    2.91992260593758-1.57079632675     		φ = 1.34912628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80179258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.939331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34912628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.299242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41131 KachelY 9867 0.80179258 1.34912628 45.939331 77.299242
    Oben rechts KachelX + 1 41132 KachelY 9867 0.80188846 1.34912628 45.944824 77.299242
    Unten links KachelX 41131 KachelY + 1 9868 0.80179258 1.34910520 45.939331 77.298034
    Unten rechts KachelX + 1 41132 KachelY + 1 9868 0.80188846 1.34910520 45.944824 77.298034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34912628-1.34910520) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dl = 134.300680000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34912628-1.34910520) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dr = 134.300680000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80179258-0.80188846) × cos(1.34912628) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219859112403392 × 6371000     		do = 134.301264203166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80179258-0.80188846) × cos(1.34910520) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219879676561406 × 6371000     		du = 134.313825849523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34912628)-sin(1.34910520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219859112403392-0.219879676561406)×R²
    abs(0.80188846-0.80179258)×2.05641580132143e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.05641580132143e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.05641580132143e-05×40589641000000     		ar = 18037.5946269221m²