Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4113 / 4719
↖ ↑ ↗
← S 26.391870°
E  0.747071°		 ← 4 377.20 m → S 26.391870°
E  0.791016°		 →
↑
4 376.49 m
↓
↑
4 376.49 m
↓
S 26.431228°
E  0.747071°		 ← 4 375.70 m →
19 153 516 m²		 S 26.431228°
E  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50213623046875 y=0.57611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50213623046875 × 213)
    floor (0.50213623046875 × 8192)
    floor (4113.5)     		tx = 4113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57611083984375 × 213)
    floor (0.57611083984375 × 8192)
    floor (4719.5)     		ty = 4719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4113 / 4719 ti = "13/4113/4719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4113/4719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4113 ÷ 213
    4113 ÷ 8192     		x = 0.5020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4719 ÷ 213
    4719 ÷ 8192     		y = 0.5760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.152099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.47783501541272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01303884} λ = 0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47783501541272))-π/2
    2×atan(0.620124499527207)-π/2
    2×0.555085652638763-π/2
    1.11017130527753-1.57079632675     		φ = -0.46062502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46062502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.391870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4113 KachelY 4719 0.01303884 -0.46062502 0.747071 -26.391870
    Oben rechts KachelX + 1 4114 KachelY 4719 0.01380583 -0.46062502 0.791016 -26.391870
    Unten links KachelX 4113 KachelY + 1 4720 0.01303884 -0.46131196 0.747071 -26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 4114 KachelY + 1 4720 0.01380583 -0.46131196 0.791016 -26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46062502--0.46131196) × R
    0.000686940000000025 × 6371000     		dl = 4376.49474000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46062502--0.46131196) × R
    0.000686940000000025 × 6371000     		dr = 4376.49474000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01303884-0.01380583) × cos(-0.46062502) × R
    0.00076699 × 0.895774846076327 × 6371000     		do = 4377.19777470276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01303884-0.01380583) × cos(-0.46131196) × R
    0.00076699 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 4375.70464949484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46062502)-sin(-0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895774846076327-0.895469284374037)×R²
    abs(0.01380583-0.01303884)×0.000305561702289681×R²
    0.00076699×0.000305561702289681×6371000²
    0.00076699×0.000305561702289681×40589641000000     		ar = 19153516.4628094m²