Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 411 / 87
↖ ↑ ↗
← N 81.569968°
W 35.507813°		 ← 5 730.94 m → N 81.569968°
W 35.156250°		 →
↑
5 748.43 m
↓
↑
5 748.43 m
↓
N 81.518272°
W 35.507813°		 ← 5 765.83 m →
33 044 159 m²		 N 81.518272°
W 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40185546875 y=0.08544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40185546875 × 210)
    floor (0.40185546875 × 1024)
    floor (411.5)     		tx = 411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08544921875 × 210)
    floor (0.08544921875 × 1024)
    floor (87.5)     		ty = 87
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 411 / 87 ti = "10/411/87"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/411/87.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 411 ÷ 210
    411 ÷ 1024     		x = 0.4013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87 ÷ 210
    87 ÷ 1024     		y = 0.0849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4013671875 × 2 - 1) × π
    -0.197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61972824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0849609375 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61972824} λ = -0.61972824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60776733933105))-π/2
    2×atan(13.5687226547437)-π/2
    2×1.49723042133873-π/2
    2.99446084267746-1.57079632675     		φ = 1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61972824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.507813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 411 KachelY 87 -0.61972824 1.42366452 -35.507813 81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 412 KachelY 87 -0.61359232 1.42366452 -35.156250 81.569968
    Unten links KachelX 411 KachelY + 1 88 -0.61972824 1.42276224 -35.507813 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 412 KachelY + 1 88 -0.61359232 1.42276224 -35.156250 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42366452-1.42276224) × R
    0.000902280000000033 × 6371000     		dl = 5748.42588000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42366452-1.42276224) × R
    0.000902280000000033 × 6371000     		dr = 5748.42588000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61972824--0.61359232) × cos(1.42366452) × R
    0.00613592000000007 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 5730.93934432968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61972824--0.61359232) × cos(1.42276224) × R
    0.00613592000000007 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 5765.82779757882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42366452)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.147494006831501)×R²
    abs(-0.61359232--0.61972824)×0.000892471635040942×R²
    0.00613592000000007×0.000892471635040942×6371000²
    0.00613592000000007×0.000892471635040942×40589641000000     		ar = 33044159.1292388m²