Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 411 / 442
↖ ↑ ↗
← N 70.959697°
W107.753906°		 ← 6 376.57 m → N 70.959697°
W107.578125°		 →
↑
6 385.78 m
↓
↑
6 385.78 m
↓
N 70.902268°
W107.753906°		 ← 6 395.08 m →
40 778 473 m²		 N 70.902268°
W107.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.200927734375 y=0.216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.200927734375 × 211)
    floor (0.200927734375 × 2048)
    floor (411.5)     		tx = 411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216064453125 × 211)
    floor (0.216064453125 × 2048)
    floor (442.5)     		ty = 442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 411 / 442 ti = "11/411/442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/411/442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 411 ÷ 211
    411 ÷ 2048     		x = 0.20068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 442 ÷ 211
    442 ÷ 2048     		y = 0.2158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.88066045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2158203125 × 2 - 1) × π
    0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.88066045} λ = -1.88066045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78555363704785))-π/2
    2×atan(5.96288030534707)-π/2
    2×1.40463833927906-π/2
    2.80927667855812-1.57079632675     		φ = 1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.88066045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -107.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 411 KachelY 442 -1.88066045 1.23848035 -107.753906 70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 412 KachelY 442 -1.87759248 1.23848035 -107.578125 70.959697
    Unten links KachelX 411 KachelY + 1 443 -1.88066045 1.23747803 -107.753906 70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 412 KachelY + 1 443 -1.87759248 1.23747803 -107.578125 70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23848035-1.23747803) × R
    0.00100232 × 6371000     		dl = 6385.78072000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23848035-1.23747803) × R
    0.00100232 × 6371000     		dr = 6385.78072000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.88066045--1.87759248) × cos(1.23848035) × R
    0.00306797000000003 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 6376.56555943075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.88066045--1.87759248) × cos(1.23747803) × R
    0.00306797000000003 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 6395.08187920256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23848035)-sin(1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.32718048787772)×R²
    abs(-1.87759248--1.88066045)×0.000947318369189931×R²
    0.00306797000000003×0.000947318369189931×6371000²
    0.00306797000000003×0.000947318369189931×40589641000000     		ar = 40778473.4021163m²