Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4104 / 3850
↖ ↑ ↗
← N 79.667498°
W134.912109°		 ← 219.11 m → N 79.667498°
W134.901123°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
N 79.665527°
W134.912109°		 ← 219.15 m →
48 012 m²		 N 79.665527°
W134.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125259399414062 y=0.117507934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125259399414062 × 215)
    floor (0.125259399414062 × 32768)
    floor (4104.5)     		tx = 4104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117507934570312 × 215)
    floor (0.117507934570312 × 32768)
    floor (3850.5)     		ty = 3850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4104 / 3850 ti = "15/4104/3850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4104/3850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4104 ÷ 215
    4104 ÷ 32768     		x = 0.125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3850 ÷ 215
    3850 ÷ 32768     		y = 0.11749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.74951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35466051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11749267578125 × 2 - 1) × π
    0.7650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40336439935114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35466051} λ = -2.35466051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40336439935114))-π/2
    2×atan(11.0603252048028)-π/2
    2×1.48062823350144-π/2
    2.96125646700288-1.57079632675     		φ = 1.39046014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35466051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39046014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.667498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4104 KachelY 3850 -2.35466051 1.39046014 -134.912109 79.667498
    Oben rechts KachelX + 1 4105 KachelY 3850 -2.35446876 1.39046014 -134.901123 79.667498
    Unten links KachelX 4104 KachelY + 1 3851 -2.35466051 1.39042575 -134.912109 79.665527
    Unten rechts KachelX + 1 4105 KachelY + 1 3851 -2.35446876 1.39042575 -134.901123 79.665527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39046014-1.39042575) × R
    3.43900000001618e-05 × 6371000     		dl = 219.098690001031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39046014-1.39042575) × R
    3.43900000001618e-05 × 6371000     		dr = 219.098690001031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35466051--2.35446876) × cos(1.39046014) × R
    0.000191749999999935 × 0.179360318560251 × 6371000     		do = 219.113605045631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35466051--2.35446876) × cos(1.39042575) × R
    0.000191749999999935 × 0.179394150767021 × 6371000     		du = 219.154935797336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39046014)-sin(1.39042575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179360318560251-0.179394150767021)×R²
    abs(-2.35446876--2.35466051)×3.38322067703345e-05×R²
    0.000191749999999935×3.38322067703345e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.38322067703345e-05×40589641000000     		ar = 48012.0315880141m²