Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41036 / 9910
↖ ↑ ↗
← N 77.247205°
E 45.417480°		 ← 134.84 m → N 77.247205°
E 45.422974°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
N 77.245992°
E 45.417480°		 ← 134.86 m →
18 188 m²		 N 77.245992°
E 45.422974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626167297363281 y=0.151222229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626167297363281 × 216)
    floor (0.626167297363281 × 65536)
    floor (41036.5)     		tx = 41036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151222229003906 × 216)
    floor (0.151222229003906 × 65536)
    floor (9910.5)     		ty = 9910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41036 / 9910 ti = "16/41036/9910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41036/9910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41036 ÷ 216
    41036 ÷ 65536     		x = 0.62615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9910 ÷ 216
    9910 ÷ 65536     		y = 0.151214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62615966796875 × 2 - 1) × π
    0.2523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79268457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151214599609375 × 2 - 1) × π
    0.69757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19148330303049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79268457} λ = 0.79268457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19148330303049))-π/2
    2×atan(8.94847657782551)-π/2
    2×1.45950719784323-π/2
    2.91901439568645-1.57079632675     		φ = 1.34821807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79268457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.417480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34821807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41036 KachelY 9910 0.79268457 1.34821807 45.417480 77.247205
    Oben rechts KachelX + 1 41037 KachelY 9910 0.79278045 1.34821807 45.422974 77.247205
    Unten links KachelX 41036 KachelY + 1 9911 0.79268457 1.34819690 45.417480 77.245992
    Unten rechts KachelX + 1 41037 KachelY + 1 9911 0.79278045 1.34819690 45.422974 77.245992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34821807-1.34819690) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dl = 134.874069999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34821807-1.34819690) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dr = 134.874069999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79268457-0.79278045) × cos(1.34821807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220745009192843 × 6371000     		do = 134.842415567973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79268457-0.79278045) × cos(1.34819690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220765656912381 × 6371000     		du = 134.855028258012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34821807)-sin(1.34819690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220745009192843-0.220765656912381)×R²
    abs(0.79278045-0.79268457)×2.06477195384691e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06477195384691e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06477195384691e-05×40589641000000     		ar = 18187.5959593459m²