Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41032 / 9920
↖ ↑ ↗
← N 77.235073°
E 45.395508°		 ← 134.95 m → N 77.235073°
E 45.401001°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
N 77.233860°
E 45.395508°		 ← 134.97 m →
18 211 m²		 N 77.233860°
E 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626106262207031 y=0.151374816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626106262207031 × 216)
    floor (0.626106262207031 × 65536)
    floor (41032.5)     		tx = 41032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151374816894531 × 216)
    floor (0.151374816894531 × 65536)
    floor (9920.5)     		ty = 9920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41032 / 9920 ti = "16/41032/9920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41032/9920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41032 ÷ 216
    41032 ÷ 65536     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9920 ÷ 216
    9920 ÷ 65536     		y = 0.1513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1513671875 × 2 - 1) × π
    0.697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19052456503809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19052456503809))-π/2
    2×atan(8.93990144466605)-π/2
    2×1.45940133003991-π/2
    2.91880266007983-1.57079632675     		φ = 1.34800633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34800633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.235073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41032 KachelY 9920 0.79230108 1.34800633 45.395508 77.235073
    Oben rechts KachelX + 1 41033 KachelY 9920 0.79239695 1.34800633 45.401001 77.235073
    Unten links KachelX 41032 KachelY + 1 9921 0.79230108 1.34798515 45.395508 77.233860
    Unten rechts KachelX + 1 41033 KachelY + 1 9921 0.79239695 1.34798515 45.401001 77.233860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34800633-1.34798515) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34800633-1.34798515) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.34800633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220951520946196 × 6371000     		do = 134.954486756832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79239695) × cos(1.34798515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220972177428529 × 6371000     		du = 134.967103483613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34800633)-sin(1.34798515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220951520946196-0.220972177428529)×R²
    abs(0.79239695-0.79230108)×2.06564823332644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06564823332644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06564823332644e-05×40589641000000     		ar = 18211.3100812241m²