Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4102 / 3958
↖ ↑ ↗
← N 79.452500°
W134.934082°		 ← 223.61 m → N 79.452500°
W134.923096°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
N 79.450489°
W134.934082°		 ← 223.65 m →
50 009 m²		 N 79.450489°
W134.923096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125198364257812 y=0.120803833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125198364257812 × 215)
    floor (0.125198364257812 × 32768)
    floor (4102.5)     		tx = 4102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120803833007812 × 215)
    floor (0.120803833007812 × 32768)
    floor (3958.5)     		ty = 3958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4102 / 3958 ti = "15/4102/3958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4102/3958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4102 ÷ 215
    4102 ÷ 32768     		x = 0.12518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3958 ÷ 215
    3958 ÷ 32768     		y = 0.12078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.7496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35504400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12078857421875 × 2 - 1) × π
    0.7584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38265565871527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35504400} λ = -2.35504400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38265565871527))-π/2
    2×atan(10.8336351330537)-π/2
    2×1.47875202768268-π/2
    2.95750405536536-1.57079632675     		φ = 1.38670773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35504400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.934082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38670773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.452500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4102 KachelY 3958 -2.35504400 1.38670773 -134.934082 79.452500
    Oben rechts KachelX + 1 4103 KachelY 3958 -2.35485226 1.38670773 -134.923096 79.452500
    Unten links KachelX 4102 KachelY + 1 3959 -2.35504400 1.38667263 -134.934082 79.450489
    Unten rechts KachelX + 1 4103 KachelY + 1 3959 -2.35485226 1.38667263 -134.923096 79.450489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38670773-1.38667263) × R
    3.50999999998436e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38670773-1.38667263) × R
    3.50999999998436e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35504400--2.35485226) × cos(1.38670773) × R
    0.000191739999999996 × 0.183050606004706 × 6371000     		do = 223.610142877521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35504400--2.35485226) × cos(1.38667263) × R
    0.000191739999999996 × 0.183085112824502 × 6371000     		du = 223.652295564547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38670773)-sin(1.38667263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183050606004706-0.183085112824502)×R²
    abs(-2.35485226--2.35504400)×3.45068197958043e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45068197958043e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45068197958043e-05×40589641000000     		ar = 50008.8828732051m²