Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41017 / 9919
↖ ↑ ↗
← N 77.236288°
E 45.313110°		 ← 134.94 m → N 77.236288°
E 45.318603°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
N 77.235073°
E 45.313110°		 ← 134.95 m →
18 218 m²		 N 77.235073°
E 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625877380371094 y=0.151359558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625877380371094 × 216)
    floor (0.625877380371094 × 65536)
    floor (41017.5)     		tx = 41017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151359558105469 × 216)
    floor (0.151359558105469 × 65536)
    floor (9919.5)     		ty = 9919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41017 / 9919 ti = "16/41017/9919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41017/9919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41017 ÷ 216
    41017 ÷ 65536     		x = 0.625869750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9919 ÷ 216
    9919 ÷ 65536     		y = 0.151351928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625869750976562 × 2 - 1) × π
    0.251739501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79086297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151351928710938 × 2 - 1) × π
    0.697296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19062043883733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79086297} λ = 0.79086297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19062043883733))-π/2
    2×atan(8.94075858807053)-π/2
    2×1.45941192127547-π/2
    2.91882384255094-1.57079632675     		φ = 1.34802752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79086297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.313110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34802752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.236288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41017 KachelY 9919 0.79086297 1.34802752 45.313110 77.236288
    Oben rechts KachelX + 1 41018 KachelY 9919 0.79095884 1.34802752 45.318603 77.236288
    Unten links KachelX 41017 KachelY + 1 9920 0.79086297 1.34800633 45.313110 77.235073
    Unten rechts KachelX + 1 41018 KachelY + 1 9920 0.79095884 1.34800633 45.318603 77.235073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34802752-1.34800633) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34802752-1.34800633) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79086297-0.79095884) × cos(1.34802752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220930854611851 × 6371000     		do = 134.941864012564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79086297-0.79095884) × cos(1.34800633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220951520946196 × 6371000     		du = 134.954486756832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34802752)-sin(1.34800633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220930854611851-0.220951520946196)×R²
    abs(0.79095884-0.79086297)×2.06663343450819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06663343450819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06663343450819e-05×40589641000000     		ar = 18218.2047504228m²