Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41014 / 9913
↖ ↑ ↗
← N 77.243567°
E 45.296631°		 ← 134.87 m → N 77.243567°
E 45.302124°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
N 77.242354°
E 45.296631°		 ← 134.88 m →
18 191 m²		 N 77.242354°
E 45.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625831604003906 y=0.151268005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625831604003906 × 216)
    floor (0.625831604003906 × 65536)
    floor (41014.5)     		tx = 41014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151268005371094 × 216)
    floor (0.151268005371094 × 65536)
    floor (9913.5)     		ty = 9913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41014 / 9913 ti = "16/41014/9913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41014/9913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41014 ÷ 216
    41014 ÷ 65536     		x = 0.625823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9913 ÷ 216
    9913 ÷ 65536     		y = 0.151260375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625823974609375 × 2 - 1) × π
    0.25164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79057535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151260375976562 × 2 - 1) × π
    0.697479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19119568163277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79057535} λ = 0.79057535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19119568163277))-π/2
    2×atan(8.94590317458539)-π/2
    2×1.45947544789591-π/2
    2.91895089579183-1.57079632675     		φ = 1.34815457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79057535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34815457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.243567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41014 KachelY 9913 0.79057535 1.34815457 45.296631 77.243567
    Oben rechts KachelX + 1 41015 KachelY 9913 0.79067122 1.34815457 45.302124 77.243567
    Unten links KachelX 41014 KachelY + 1 9914 0.79057535 1.34813340 45.296631 77.242354
    Unten rechts KachelX + 1 41015 KachelY + 1 9914 0.79067122 1.34813340 45.302124 77.242354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34815457-1.34813340) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dl = 134.874069999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34815457-1.34813340) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dr = 134.874069999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79057535-0.79067122) × cos(1.34815457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220806942301453 × 6371000     		do = 134.86617988882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79057535-0.79067122) × cos(1.34813340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220827589724189 × 6371000     		du = 134.87879108211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34815457)-sin(1.34813340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220806942301453-0.220827589724189)×R²
    abs(0.79067122-0.79057535)×2.06474227365527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06474227365527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06474227365527e-05×40589641000000     		ar = 18190.8010490825m²