Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41010 / 9965
↖ ↑ ↗
← N 77.180341°
E 45.274658°		 ← 135.54 m → N 77.180341°
E 45.280152°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
N 77.179122°
E 45.274658°		 ← 135.55 m →
18 368 m²		 N 77.179122°
E 45.280152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625770568847656 y=0.152061462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625770568847656 × 216)
    floor (0.625770568847656 × 65536)
    floor (41010.5)     		tx = 41010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152061462402344 × 216)
    floor (0.152061462402344 × 65536)
    floor (9965.5)     		ty = 9965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41010 / 9965 ti = "16/41010/9965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41010/9965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41010 ÷ 216
    41010 ÷ 65536     		x = 0.625762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9965 ÷ 216
    9965 ÷ 65536     		y = 0.152053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625762939453125 × 2 - 1) × π
    0.25152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79019185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152053833007812 × 2 - 1) × π
    0.695892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18621024407228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79019185} λ = 0.79019185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18621024407228))-π/2
    2×atan(8.90141492173445)-π/2
    2×1.45892369807029-π/2
    2.91784739614058-1.57079632675     		φ = 1.34705107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79019185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34705107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.180341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41010 KachelY 9965 0.79019185 1.34705107 45.274658 77.180341
    Oben rechts KachelX + 1 41011 KachelY 9965 0.79028773 1.34705107 45.280152 77.180341
    Unten links KachelX 41010 KachelY + 1 9966 0.79019185 1.34702980 45.274658 77.179122
    Unten rechts KachelX + 1 41011 KachelY + 1 9966 0.79028773 1.34702980 45.280152 77.179122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34705107-1.34702980) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34705107-1.34702980) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79019185-0.79028773) × cos(1.34705107) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221883070543336 × 6371000     		do = 135.537602028253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79019185-0.79028773) × cos(1.34702980) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221903810301827 × 6371000     		du = 135.550270940421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34705107)-sin(1.34702980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221883070543336-0.221903810301827)×R²
    abs(0.79028773-0.79019185)×2.07397584904845e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.07397584904845e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.07397584904845e-05×40589641000000     		ar = 18367.7174203679m²