Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41003 / 9975
↖ ↑ ↗
← N 77.168147°
E 45.236206°		 ← 135.65 m → N 77.168147°
E 45.241699°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
N 77.166927°
E 45.236206°		 ← 135.66 m →
18 400 m²		 N 77.166927°
E 45.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625663757324219 y=0.152214050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625663757324219 × 216)
    floor (0.625663757324219 × 65536)
    floor (41003.5)     		tx = 41003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152214050292969 × 216)
    floor (0.152214050292969 × 65536)
    floor (9975.5)     		ty = 9975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41003 / 9975 ti = "16/41003/9975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41003/9975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41003 ÷ 216
    41003 ÷ 65536     		x = 0.625656127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9975 ÷ 216
    9975 ÷ 65536     		y = 0.152206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625656127929688 × 2 - 1) × π
    0.251312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78952074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152206420898438 × 2 - 1) × π
    0.695587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18525150607988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78952074} λ = 0.78952074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18525150607988))-π/2
    2×atan(8.89288488675055)-π/2
    2×1.4588172844739-π/2
    2.91763456894781-1.57079632675     		φ = 1.34683824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78952074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34683824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.168147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41003 KachelY 9975 0.78952074 1.34683824 45.236206 77.168147
    Oben rechts KachelX + 1 41004 KachelY 9975 0.78961661 1.34683824 45.241699 77.168147
    Unten links KachelX 41003 KachelY + 1 9976 0.78952074 1.34681695 45.236206 77.166927
    Unten rechts KachelX + 1 41004 KachelY + 1 9976 0.78961661 1.34681695 45.241699 77.166927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34683824-1.34681695) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34683824-1.34681695) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78952074-0.78961661) × cos(1.34683824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222090590362855 × 6371000     		do = 135.650216425709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78952074-0.78961661) × cos(1.34681695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222111348616814 × 6371000     		du = 135.662895313354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34683824)-sin(1.34681695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222090590362855-0.222111348616814)×R²
    abs(0.78961661-0.78952074)×2.07582539589468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07582539589468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07582539589468e-05×40589641000000     		ar = 18400.2639630997m²