Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 410 / 210
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
E108.281250°		 ← 67.191 km → N 30.751278°
E108.984375°		 →
↑
67.401 km
↓
↑
67.401 km
↓
N 30.145127°
E108.281250°		 ← 67.610 km →
4 542.90 km²		 N 30.145127°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8017578125 y=0.4111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8017578125 × 29)
    floor (0.8017578125 × 512)
    floor (410.5)     		tx = 410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4111328125 × 29)
    floor (0.4111328125 × 512)
    floor (210.5)     		ty = 210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 410 / 210 ti = "9/410/210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/410/210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 410 ÷ 29
    410 ÷ 512     		x = 0.80078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 210 ÷ 29
    210 ÷ 512     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80078125 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88986433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88986433} λ = 1.88986433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88986433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 410 KachelY 210 1.88986433 0.53671105 108.281250 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 411 KachelY 210 1.90213618 0.53671105 108.984375 30.751278
    Unten links KachelX 410 KachelY + 1 211 1.88986433 0.52613172 108.281250 30.145127
    Unten rechts KachelX + 1 411 KachelY + 1 211 1.90213618 0.52613172 108.984375 30.145127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.52613172) × R
    0.01057933 × 6371000     		dl = 67400.91143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.52613172) × R
    0.01057933 × 6371000     		dr = 67400.91143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88986433-1.90213618) × cos(0.53671105) × R
    0.0122718500000001 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 67190.9017060478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88986433-1.90213618) × cos(0.52613172) × R
    0.0122718500000001 × 0.864756154813241 × 6371000     		du = 67610.0574613128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.52613172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.864756154813241)×R²
    abs(1.90213618-1.88986433)×0.00536114792386011×R²
    0.0122718500000001×0.00536114792386011×6371000²
    0.0122718500000001×0.00536114792386011×40589641000000     		ar = 4542896125.75771m²