Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 41 / 70
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
W122.343750°		 ← 71.196 km → N 62.915233°
W120.937500°		 →
↑
71.978 km
↓
↑
71.978 km
↓
N 62.267923°
W122.343750°		 ← 72.764 km →
5 180.99 km²		 N 62.267923°
W120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162109375 y=0.275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162109375 × 28)
    floor (0.162109375 × 256)
    floor (41.5)     		tx = 41
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275390625 × 28)
    floor (0.275390625 × 256)
    floor (70.5)     		ty = 70
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 41 / 70 ti = "8/41/70"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/41/70.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41 ÷ 28
    41 ÷ 256     		x = 0.16015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70 ÷ 28
    70 ÷ 256     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16015625 × 2 - 1) × π
    -0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13530126} λ = -2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41 KachelY 70 -2.13530126 1.09807797 -122.343750 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 42 KachelY 70 -2.11075756 1.09807797 -120.937500 62.915233
    Unten links KachelX 41 KachelY + 1 71 -2.13530126 1.08678027 -122.343750 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 42 KachelY + 1 71 -2.11075756 1.08678027 -120.937500 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.08678027) × R
    0.0112977000000001 × 6371000     		dl = 71977.6467000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.08678027) × R
    0.0112977000000001 × 6371000     		dr = 71977.6467000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13530126--2.11075756) × cos(1.09807797) × R
    0.0245436999999997 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 71195.5944041326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13530126--2.11075756) × cos(1.08678027) × R
    0.0245436999999997 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 72763.879221277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.46533766400578)×R²
    abs(-2.11075756--2.13530126)×0.010029454189577×R²
    0.0245436999999997×0.010029454189577×6371000²
    0.0245436999999997×0.010029454189577×40589641000000     		ar = 5180987173.56203m²