Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40987 / 9876
↖ ↑ ↗
← N 77.288368°
E 45.148316°		 ← 134.40 m → N 77.288368°
E 45.153809°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
N 77.287159°
E 45.148316°		 ← 134.41 m →
18 068 m²		 N 77.287159°
E 45.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625419616699219 y=0.150703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625419616699219 × 216)
    floor (0.625419616699219 × 65536)
    floor (40987.5)     		tx = 40987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150703430175781 × 216)
    floor (0.150703430175781 × 65536)
    floor (9876.5)     		ty = 9876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40987 / 9876 ti = "16/40987/9876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40987/9876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40987 ÷ 216
    40987 ÷ 65536     		x = 0.625411987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9876 ÷ 216
    9876 ÷ 65536     		y = 0.15069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625411987304688 × 2 - 1) × π
    0.250823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78798676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15069580078125 × 2 - 1) × π
    0.6986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19474301220465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78798676} λ = 0.78798676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19474301220465))-π/2
    2×atan(8.97769360265202)-π/2
    2×1.45986640875812-π/2
    2.91973281751624-1.57079632675     		φ = 1.34893649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78798676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.148316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34893649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.288368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40987 KachelY 9876 0.78798676 1.34893649 45.148316 77.288368
    Oben rechts KachelX + 1 40988 KachelY 9876 0.78808263 1.34893649 45.153809 77.288368
    Unten links KachelX 40987 KachelY + 1 9877 0.78798676 1.34891539 45.148316 77.287159
    Unten rechts KachelX + 1 40988 KachelY + 1 9877 0.78808263 1.34891539 45.153809 77.287159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34893649-1.34891539) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dl = 134.428100000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34893649-1.34891539) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dr = 134.428100000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78798676-0.78808263) × cos(1.34893649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220044254591579 × 6371000     		do = 134.4003395633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78798676-0.78808263) × cos(1.34891539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22006483737928 × 6371000     		du = 134.4129112783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34893649)-sin(1.34891539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220044254591579-0.22006483737928)×R²
    abs(0.78808263-0.78798676)×2.05827877003406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05827877003406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05827877003406e-05×40589641000000     		ar = 18068.0272832011m²