Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40974 / 8246
↖ ↑ ↗
← N 79.115464°
E 45.076904°		 ← 115.34 m → N 79.115464°
E 45.082397°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
N 79.114427°
E 45.076904°		 ← 115.35 m →
13 301 m²		 N 79.114427°
E 45.082397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625221252441406 y=0.125831604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625221252441406 × 216)
    floor (0.625221252441406 × 65536)
    floor (40974.5)     		tx = 40974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125831604003906 × 216)
    floor (0.125831604003906 × 65536)
    floor (8246.5)     		ty = 8246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40974 / 8246 ti = "16/40974/8246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40974/8246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40974 ÷ 216
    40974 ÷ 65536     		x = 0.625213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8246 ÷ 216
    8246 ÷ 65536     		y = 0.125823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625213623046875 × 2 - 1) × π
    0.25042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78674040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125823974609375 × 2 - 1) × π
    0.74835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35101730496603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78674040} λ = 0.78674040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35101730496603))-π/2
    2×atan(10.4962421745279)-π/2
    2×1.47581083026126-π/2
    2.95162166052251-1.57079632675     		φ = 1.38082533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78674040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38082533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.115464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40974 KachelY 8246 0.78674040 1.38082533 45.076904 79.115464
    Oben rechts KachelX + 1 40975 KachelY 8246 0.78683627 1.38082533 45.082397 79.115464
    Unten links KachelX 40974 KachelY + 1 8247 0.78674040 1.38080723 45.076904 79.114427
    Unten rechts KachelX + 1 40975 KachelY + 1 8247 0.78683627 1.38080723 45.082397 79.114427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38082533-1.38080723) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dl = 115.315099999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38082533-1.38080723) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dr = 115.315099999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78674040-0.78683627) × cos(1.38082533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188830413626828 × 6371000     		do = 115.335307247306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78674040-0.78683627) × cos(1.38080723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188848187971687 × 6371000     		du = 115.346163599765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38082533)-sin(1.38080723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188830413626828-0.188848187971687)×R²
    abs(0.78683627-0.78674040)×1.77743448586953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77743448586953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77743448586953e-05×40589641000000     		ar = 13300.5284396155m²