Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40965 / 9885
↖ ↑ ↗
← N 77.277484°
E 45.027466°		 ← 134.53 m → N 77.277484°
E 45.032959°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 77.276275°
E 45.027466°		 ← 134.54 m →
18 094 m²		 N 77.276275°
E 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625083923339844 y=0.150840759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625083923339844 × 216)
    floor (0.625083923339844 × 65536)
    floor (40965.5)     		tx = 40965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150840759277344 × 216)
    floor (0.150840759277344 × 65536)
    floor (9885.5)     		ty = 9885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40965 / 9885 ti = "16/40965/9885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40965/9885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40965 ÷ 216
    40965 ÷ 65536     		x = 0.625076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9885 ÷ 216
    9885 ÷ 65536     		y = 0.150833129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625076293945312 × 2 - 1) × π
    0.250152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78587753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150833129882812 × 2 - 1) × π
    0.698333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19388014801149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78587753} λ = 0.78587753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19388014801149))-π/2
    2×atan(8.9699504134459)-π/2
    2×1.45977143463992-π/2
    2.91954286927984-1.57079632675     		φ = 1.34874654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78587753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34874654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.277484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40965 KachelY 9885 0.78587753 1.34874654 45.027466 77.277484
    Oben rechts KachelX + 1 40966 KachelY 9885 0.78597341 1.34874654 45.032959 77.277484
    Unten links KachelX 40965 KachelY + 1 9886 0.78587753 1.34872543 45.027466 77.276275
    Unten rechts KachelX + 1 40966 KachelY + 1 9886 0.78597341 1.34872543 45.032959 77.276275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34874654-1.34872543) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dl = 134.491810000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34874654-1.34872543) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dr = 134.491810000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78587753-0.78597341) × cos(1.34874654) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220229544925413 × 6371000     		do = 134.527543457327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78587753-0.78597341) × cos(1.34872543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22025013658521 × 6371000     		du = 134.540121903189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34874654)-sin(1.34872543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220229544925413-0.22025013658521)×R²
    abs(0.78597341-0.78587753)×2.05916597967315e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.05916597967315e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.05916597967315e-05×40589641000000     		ar = 18093.6986642379m²