Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40963 / 8521
↖ ↑ ↗
← N 78.826490°
E 45.016479°		 ← 118.37 m → N 78.826490°
E 45.021973°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 78.825425°
E 45.016479°		 ← 118.38 m →
14 013 m²		 N 78.825425°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625053405761719 y=0.130027770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625053405761719 × 216)
    floor (0.625053405761719 × 65536)
    floor (40963.5)     		tx = 40963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130027770996094 × 216)
    floor (0.130027770996094 × 65536)
    floor (8521.5)     		ty = 8521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40963 / 8521 ti = "16/40963/8521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40963/8521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40963 ÷ 216
    40963 ÷ 65536     		x = 0.625045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8521 ÷ 216
    8521 ÷ 65536     		y = 0.130020141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625045776367188 × 2 - 1) × π
    0.250091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78568578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130020141601562 × 2 - 1) × π
    0.739959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.324652010175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78568578} λ = 0.78568578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.324652010175))-π/2
    2×atan(10.2231219243155)-π/2
    2×1.47328905124483-π/2
    2.94657810248967-1.57079632675     		φ = 1.37578178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78568578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37578178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.826490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40963 KachelY 8521 0.78568578 1.37578178 45.016479 78.826490
    Oben rechts KachelX + 1 40964 KachelY 8521 0.78578166 1.37578178 45.021973 78.826490
    Unten links KachelX 40963 KachelY + 1 8522 0.78568578 1.37576320 45.016479 78.825425
    Unten rechts KachelX + 1 40964 KachelY + 1 8522 0.78578166 1.37576320 45.021973 78.825425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37578178-1.37576320) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37578178-1.37576320) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78568578-0.78578166) × cos(1.37578178) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193780806041153 × 6371000     		do = 118.371292165891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78568578-0.78578166) × cos(1.37576320) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193799033821031 × 6371000     		du = 118.382426632206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37578178)-sin(1.37576320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193780806041153-0.193799033821031)×R²
    abs(0.78578166-0.78568578)×1.82277798780606e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82277798780606e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82277798780606e-05×40589641000000     		ar = 14012.6452859908m²