Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40962 / 9883
↖ ↑ ↗
← N 77.279904°
E 45.010986°		 ← 134.49 m → N 77.279904°
E 45.016479°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 77.278694°
E 45.010986°		 ← 134.50 m →
18 088 m²		 N 77.278694°
E 45.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625038146972656 y=0.150810241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625038146972656 × 216)
    floor (0.625038146972656 × 65536)
    floor (40962.5)     		tx = 40962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150810241699219 × 216)
    floor (0.150810241699219 × 65536)
    floor (9883.5)     		ty = 9883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40962 / 9883 ti = "16/40962/9883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40962/9883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40962 ÷ 216
    40962 ÷ 65536     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9883 ÷ 216
    9883 ÷ 65536     		y = 0.150802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150802612304688 × 2 - 1) × π
    0.698394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19407189560997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19407189560997))-π/2
    2×atan(8.97167054480643)-π/2
    2×1.45979254690838-π/2
    2.91958509381676-1.57079632675     		φ = 1.34878877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34878877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.279904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40962 KachelY 9883 0.78558991 1.34878877 45.010986 77.279904
    Oben rechts KachelX + 1 40963 KachelY 9883 0.78568578 1.34878877 45.016479 77.279904
    Unten links KachelX 40962 KachelY + 1 9884 0.78558991 1.34876766 45.010986 77.278694
    Unten rechts KachelX + 1 40963 KachelY + 1 9884 0.78568578 1.34876766 45.016479 77.278694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34878877-1.34876766) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dl = 134.491810000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34878877-1.34876766) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dr = 134.491810000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78568578) × cos(1.34878877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220188351556831 × 6371000     		do = 134.48835222737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78568578) × cos(1.34876766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220208943412948 × 6371000     		du = 134.500929481248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34878877)-sin(1.34876766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220188351556831-0.220208943412948)×R²
    abs(0.78568578-0.78558991)×2.05918561167195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05918561167195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05918561167195e-05×40589641000000     		ar = 18088.4276845625m²