Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40961 / 8526
↖ ↑ ↗
← N 78.821166°
E 45.005493°		 ← 118.41 m → N 78.821166°
E 45.010986°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.820100°
E 45.005493°		 ← 118.43 m →
14 025 m²		 N 78.820100°
E 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625022888183594 y=0.130104064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625022888183594 × 216)
    floor (0.625022888183594 × 65536)
    floor (40961.5)     		tx = 40961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130104064941406 × 216)
    floor (0.130104064941406 × 65536)
    floor (8526.5)     		ty = 8526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40961 / 8526 ti = "16/40961/8526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40961/8526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40961 ÷ 216
    40961 ÷ 65536     		x = 0.625015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8526 ÷ 216
    8526 ÷ 65536     		y = 0.130096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625015258789062 × 2 - 1) × π
    0.250030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78549404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130096435546875 × 2 - 1) × π
    0.73980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3241726411788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78549404} λ = 0.78549404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3241726411788))-π/2
    2×atan(10.2182224510423)-π/2
    2×1.47324259406551-π/2
    2.94648518813102-1.57079632675     		φ = 1.37568886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78549404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37568886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.821166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40961 KachelY 8526 0.78549404 1.37568886 45.005493 78.821166
    Oben rechts KachelX + 1 40962 KachelY 8526 0.78558991 1.37568886 45.010986 78.821166
    Unten links KachelX 40961 KachelY + 1 8527 0.78549404 1.37567027 45.005493 78.820100
    Unten rechts KachelX + 1 40962 KachelY + 1 8527 0.78558991 1.37567027 45.010986 78.820100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37568886-1.37567027) × R
    1.85899999998185e-05 × 6371000     		dl = 118.436889998843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37568886-1.37567027) × R
    1.85899999998185e-05 × 6371000     		dr = 118.436889998843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78549404-0.78558991) × cos(1.37568886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193871963891991 × 6371000     		do = 118.414624491107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78549404-0.78558991) × cos(1.37567027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193890201147453 × 6371000     		du = 118.425763583702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37568886)-sin(1.37567027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193871963891991-0.193890201147453)×R²
    abs(0.78558991-0.78549404)×1.82372554621835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82372554621835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82372554621835e-05×40589641000000     		ar = 14025.3194952423m²