Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40960 / 8525
↖ ↑ ↗
← N 78.822231°
E 45.000000°		 ← 118.42 m → N 78.822231°
E 45.005493°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.821166°
E 45.000000°		 ← 118.43 m →
14 025 m²		 N 78.821166°
E 45.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625007629394531 y=0.130088806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625007629394531 × 216)
    floor (0.625007629394531 × 65536)
    floor (40960.5)     		tx = 40960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130088806152344 × 216)
    floor (0.130088806152344 × 65536)
    floor (8525.5)     		ty = 8525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40960 / 8525 ti = "16/40960/8525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40960/8525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40960 ÷ 216
    40960 ÷ 65536     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8525 ÷ 216
    8525 ÷ 65536     		y = 0.130081176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130081176757812 × 2 - 1) × π
    0.739837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32426851497804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32426851497804))-π/2
    2×atan(10.2192021578135)-π/2
    2×1.47325188724928-π/2
    2.94650377449855-1.57079632675     		φ = 1.37570745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37570745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.822231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40960 KachelY 8525 0.78539816 1.37570745 45.000000 78.822231
    Oben rechts KachelX + 1 40961 KachelY 8525 0.78549404 1.37570745 45.005493 78.822231
    Unten links KachelX 40960 KachelY + 1 8526 0.78539816 1.37568886 45.000000 78.821166
    Unten rechts KachelX + 1 40961 KachelY + 1 8526 0.78549404 1.37568886 45.005493 78.821166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37570745-1.37568886) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37570745-1.37568886) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78549404) × cos(1.37570745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193853726569528 × 6371000     		do = 118.415835778571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78549404) × cos(1.37568886) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193871963891991 × 6371000     		du = 118.426976073989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37570745)-sin(1.37568886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193853726569528-0.193871963891991)×R²
    abs(0.78549404-0.78539816)×1.82373224622556e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82373224622556e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82373224622556e-05×40589641000000     		ar = 14025.4630278459m²