Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40957 / 9865
↖ ↑ ↗
← N 77.301657°
E 44.983520°		 ← 134.28 m → N 77.301657°
E 44.989014°		 →
↑
134.24 m
↓
↑
134.24 m
↓
N 77.300450°
E 44.983520°		 ← 134.29 m →
18 026 m²		 N 77.300450°
E 44.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624961853027344 y=0.150535583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624961853027344 × 216)
    floor (0.624961853027344 × 65536)
    floor (40957.5)     		tx = 40957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150535583496094 × 216)
    floor (0.150535583496094 × 65536)
    floor (9865.5)     		ty = 9865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40957 / 9865 ti = "16/40957/9865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40957/9865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40957 ÷ 216
    40957 ÷ 65536     		x = 0.624954223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9865 ÷ 216
    9865 ÷ 65536     		y = 0.150527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624954223632812 × 2 - 1) × π
    0.249908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78511054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150527954101562 × 2 - 1) × π
    0.698944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19579762399629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78511054} λ = 0.78511054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19579762399629))-π/2
    2×atan(8.98716657846513)-π/2
    2×1.45998237972594-π/2
    2.91996475945188-1.57079632675     		φ = 1.34916843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78511054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.983520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34916843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.301657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40957 KachelY 9865 0.78511054 1.34916843 44.983520 77.301657
    Oben rechts KachelX + 1 40958 KachelY 9865 0.78520642 1.34916843 44.989014 77.301657
    Unten links KachelX 40957 KachelY + 1 9866 0.78511054 1.34914736 44.983520 77.300450
    Unten rechts KachelX + 1 40958 KachelY + 1 9866 0.78520642 1.34914736 44.989014 77.300450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34916843-1.34914736) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dl = 134.23697000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34916843-1.34914736) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dr = 134.23697000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78511054-0.78520642) × cos(1.34916843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21981799354969 × 6371000     		do = 134.276146690371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78511054-0.78520642) × cos(1.34914736) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219838548147681 × 6371000     		du = 134.288702496974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34916843)-sin(1.34914736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21981799354969-0.219838548147681)×R²
    abs(0.78520642-0.78511054)×2.0554597991107e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0554597991107e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0554597991107e-05×40589641000000     		ar = 18025.665802503m²