Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40955 / 8518
↖ ↑ ↗
← N 78.829682°
E 44.972534°		 ← 118.34 m → N 78.829682°
E 44.978027°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
N 78.828618°
E 44.972534°		 ← 118.35 m →
14 001 m²		 N 78.828618°
E 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624931335449219 y=0.129981994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624931335449219 × 216)
    floor (0.624931335449219 × 65536)
    floor (40955.5)     		tx = 40955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129981994628906 × 216)
    floor (0.129981994628906 × 65536)
    floor (8518.5)     		ty = 8518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40955 / 8518 ti = "16/40955/8518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40955/8518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40955 ÷ 216
    40955 ÷ 65536     		x = 0.624923706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8518 ÷ 216
    8518 ÷ 65536     		y = 0.129974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624923706054688 × 2 - 1) × π
    0.249847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78491879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129974365234375 × 2 - 1) × π
    0.74005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32493963157272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78491879} λ = 0.78491879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32493963157272))-π/2
    2×atan(10.2260627358324)-π/2
    2×1.47331691506722-π/2
    2.94663383013445-1.57079632675     		φ = 1.37583750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78491879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.972534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37583750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.829682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40955 KachelY 8518 0.78491879 1.37583750 44.972534 78.829682
    Oben rechts KachelX + 1 40956 KachelY 8518 0.78501467 1.37583750 44.978027 78.829682
    Unten links KachelX 40955 KachelY + 1 8519 0.78491879 1.37581893 44.972534 78.828618
    Unten rechts KachelX + 1 40956 KachelY + 1 8519 0.78501467 1.37581893 44.978027 78.828618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37583750-1.37581893) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37583750-1.37581893) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78491879-0.78501467) × cos(1.37583750) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193726141921279 × 6371000     		do = 118.337900507363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78491879-0.78501467) × cos(1.37581893) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193744360091235 × 6371000     		du = 118.349029103443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37583750)-sin(1.37581893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193726141921279-0.193744360091235)×R²
    abs(0.78501467-0.78491879)×1.82181699555084e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82181699555084e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82181699555084e-05×40589641000000     		ar = 14001.1525993134m²